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1951. Le mathématicien Lewis Richardson s’intéresse à la frontière entre l’Espagne et le Portugal, mais il se heurte à un problème de taille. Les Portugais déclarent qu’elle est longue de 987 km, alors qu’elle mesure 1 214 km pour les Espagnols ! Et à vrai dire, aucun des deux pays n’a complètement tort…
Pour le comprendre, rappelons ce qu’est une frontière. Il s’agit d’une démarcation imaginaire, reportée sur une carte. Elle est définie entre les pays par des limites naturelles ou arbitraires, liées à des raisons historiques.
Le résultat est donc une ligne à la forme complexe, qui présente des angles et des courbes… Pour la mesurer, impossible de seulement sortir une règle graduée, qui n’est utile que pour les lignes droites.
L’astuce est donc de simplifier la frontière en une succession de segments de même taille puis d’additionner leur longueur. On obtient alors une estimation de la frontière, qui dépend de la longueur du segment utilisé.
C’est pour cela que l’Espagne et le Portugal obtiennent des valeurs différentes : les deux pays n’emploient pas le même degré de précision. En utilisant une unité plus petite, on se rapproche au mieux des détails de la frontière. Comme le tracé obtenu fait plus de détours, la longueur calculée augmente.
Logiquement, il suffit donc d’utiliser des segments de plus en plus petits pour obtenir la "vraie" longueur, non ? Dans l’idée, oui, mais il faut bien s’arrêter quelque part, on ne va pas aller mesurer son territoire au millimètre près. Et la taille de la frontière ne s’arrête jamais d’augmenter. En affinant, on pourrait même atteindre plusieurs milliers de kilomètres !
C’est ce que l’on appelle le "paradoxe du littoral", nommé ainsi depuis qu’un autre mathématicien, Benoît Mandelbrot, l’a étudié en cherchant à mesurer la côte de la Grande-Bretagne.
Avec les outils numériques d’aujourd’hui, on estime la taille des frontières à partir de photos satellite très précises. Cependant le paradoxe persiste, puisqu’il faut bien choisir la résolution de la carte !
